Berikut ini adalah contoh soal limit fungsi tak hingga dan pembahasannya:
Soal
Apa itu Limit Fungsi Tak Hingga?
Limit fungsi tak hingga adalah batas dari suatu fungsi ketika x mendekati positif atau negatif tak terbatas. Limit fungsi tak hingga dapat dihitung menggunakan aturan-aturan dasar limit fungsi, seperti cara pemfaktoran, cara substitusi, dan cara eliminasi.
Mengapa Menghitung Limit Fungsi Tak Hingga
Menghitung limit fungsi tak hingga sangat penting dalam membantu memahami sifat-sifat asimptotik dan behavior dari suatu fungsi. Selain itu, juga dapat digunakan untuk menentukan batas fungsi ketika nilainya tidak dapat didefinisikan.
Cara Menghitung Limit Fungsi Tak Hingga
Berikut adalah beberapa cara untuk menghitung limit fungsi tak hingga:
- Cara Pemfaktoran
- Cara Substitusi
- Cara Eliminasi
Cara ini biasanya digunakan ketika fungsi di dalam limit dapat dipermudah oleh pemfaktoran.
Contoh Soal:
Hitunglah limit berikut:
limx → 1 [(3x² – 3x – 6) / (x – 1)]
Pembahasan:
Langkah 1: Faktorkan Persamaan dalam pembilang.
(3x² – 3x – 6) = 3(x² – x – 2) = 3(x + 1) (x – 2)
Langkah 2: Substitusikan nilai x = 1
(3(1 + 1)(1 – 2)) / (1 – 1) = -6
Sehingga limit tersebut sama dengan -6.
Cara ini biasanya digunakan ketika fungsi di dalam limit dapat disederhanakan dengan cara substitusi.
Contoh Soal:
Hitunglah limit berikut:
limx → ∞ [(5x – 3) / (2x + 4)]
Pembahasan:
Langkah 1: Substitusikan x = 1 / t
limx → ∞ [(5x – 3) / (2x + 4)] = limt → 0 [(5 / t – 3) / (2 / t + 4)]
Langkah 2: Hasilkan bentuk tertentu
limt → 0 [(5/t – 3) / (2/t + 4)] = limt → 0 [(5 – 3t) / (2 + 4t)]
Langkah 3: Substitusikan t = 1 / x
limt → 0 [(5 – 3t) / (2 + 4t)] = limx → ∞ [(5 – 3 / x) / (2 + 4 / x)] = limx → ∞ [5 – 3 / x] / [2 + 4 / x]
Langkah 4: Hasilkan limit akhir
limx → ∞ [5 – 3 / x] / [2 + 4 / x] = 5 / 2 = 2.5
Cara ini biasanya digunakan jika terdapat pecahan dengan akar pangkat genap, pecahan dengan variabel di akar pangkat, atau fungsi trigonometri.
Contoh Soal:
Hitunglah limit berikut:
limx → 0 [(sinx / x)²]
Pembahasan:
Langkah 1: Substitusikan u = sin x
limx → 0 [(sinx / x)²] = limu → 0 [(u / sin ^ -1 u)²]
Langkah 2: Hilangkan penyebut di akar pangkat
limu → 0 [(u / sin ^ -1 u)²] = limu → 0 [(u / u)²] = limu → 0 1 = 1
Soal
Apa itu Limit Pemfaktoran Sekawan?
Limit Pemfaktoran Sekawan adalah batas dari suatu fungsi ketika x mendekati suatu nilai konstan. Limit ini dapat dicari dengan menggunakan aturan-aturan dasar limit fungsi yang berkaitan dengan pemfaktoran.
Mengapa Menghitung Limit Pemfaktoran Sekawan
Menghitung limit pemfaktoran sekawan sangat penting dalam menyelesaikan berbagai masalah dalam kalkulus yang berkaitan dengan turunan, integral, dan serangkaian masalah lainnya.
Cara Menghitung Limit Pemfaktoran Sekawan
Berikut adalah langkah-langkah untuk menghitung limit pemfaktoran sekawan:
- Faktorkan fungsi yang diberikan.
- Cari faktor tak terhingga pada setiap faktor dan eliminasi.
- Substitusikan nilai x yang dimaksud.
- Hasilkan limit akhir.
Contoh Soal:
Hitunglah limit berikut:
limx → 2 [(x ^ 3 – 8x) / (x – 2)]
Pembahasan:
Langkah 1: Faktorkan Persamaan dalam pembilang.
(x³ – 8x) = x (x² – 8) = x (x + 2) (x – 2)
Langkah 2: Faktorkan Persamaan dalam penyebut.
(x – 2) = (x – 2)
Langkah 3: Hilangkan faktor (x – 2)
limx → 2 [(x ^ 3 – 8x) / (x – 2)] = limx → 2 [x (x + 2) / 1] = 12
Sehingga limit tersebut sama dengan 12.
Dalam kalkulus, menghitung limit fungsi sangat penting dalam menyelesaikan berbagai masalah yang berkaitan dengan turunan, integral, dan sejumlah masalah lainnya. Sebagai mahasiswa yang tertarik pada kalkulus dan matematika, diharapkan kamu dapat mengerti dan memahami setiap langkah dalam menghitung limit fungsi tak hingga dan limit pemfaktoran sekawan demi meningkatkan pemahamanmu dalam kalkulus.