Contoh Soal Cerita Persamaan Linear 3 Variabel dan Pembahasannya
Apa itu persamaan linear 3 variabel? Persamaan linear 3 variabel adalah persamaan matematika yang melibatkan tiga variabel dengan derajat maksimum satu untuk setiap variabelnya. Contohnya adalah persamaan berikut:
2x + 3y – 4z = 10
4x – 5y + 6z = 20
7x + 8y + 9z = 30
Kelebihan persamaan linear 3 variabel adalah dapat menggambarkan hubungan antara tiga variabel secara simultan. Kelebihan ini sangat penting dalam pemodelan matematika karena banyak fenomena dalam dunia nyata yang melibatkan tiga faktor atau lebih yang saling mempengaruhi. Dengan menggunakan persamaan linear 3 variabel, kita dapat memperoleh solusi yang menggambarkan hubungan antara ketiga variabel tersebut.
Namun, persamaan linear 3 variabel juga memiliki kekurangan. Salah satu kekurangannya adalah sulitnya menemukan solusi analitik secara eksak. Dalam beberapa kasus, diperlukan metode numerik seperti metode eliminasi Gauss-Jordan atau metode matriks untuk menemukan solusi persamaan linear 3 variabel. Selain itu, dalam pemodelan matematika, interpretasi dari solusi persamaan linear 3 variabel juga bisa menjadi rumit karena melibatkan tiga variabel.
Berikut adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan contoh soal cerita persamaan linear 3 variabel:
Cara Menyelesaikan Contoh Soal Cerita Persamaan Linear 3 Variabel
1. Ubah cerita menjadi persamaan matematika. Dalam contoh soal ini, cerita menyatakan bahwa ada tiga bilangan bulat berturut-turut. Misalnya, bilangan pertama adalah x, bilangan kedua adalah y, dan bilangan ketiga adalah z. Dengan demikian, kita dapat menulis tiga persamaan berikut:
x + y + z = 54
x + (y + 1) + (z + 2) = 57
x + (y + 2) + (z + 4) = 63
2. Menyelesaikan persamaan linear 3 variabel. Dalam contoh soal ini, kita dapat menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan persamaan linear 3 variabel. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
a. Ubah persamaan linear menjadi matriks augmented. Dalam contoh soal ini, matriks augmented adalah sebagai berikut:
[1 1 1 54]
[1 1 1 57]
[1 1 1 63]
b. Gunakan operasi baris elementer untuk mengubah matriks augmented menjadi bentuk eselon atau bentuk tereduksi baris eselon. Langkah ini dilakukan dengan cara melakukan operasi baris elementer yang setara pada matriks dengan tujuan menghasilkan 0 di bawah elemen pivot pada setiap barisnya. Dalam contoh soal ini, matriks augmented mengalami beberapa tahap operasi baris elementer, dan akhirnya menjadi bentuk tereduksi baris eselon berikut:
[1 1 1 54]
[0 0 0 1]
[0 0 0 -5]
c. Tulis persamaan linear yang sesuai dengan matriks tereduksi baris eselon. Dalam contoh soal ini, persamaan linear yang sesuai dengan matriks tereduksi baris eselon adalah sebagai berikut:
x + y + z = 54
0x + 0y + 0z = 1
0x + 0y + 0z = -5
d. Tentukan jumlah variabel bebas. Dalam contoh soal ini, terdapat satu variabel bebas, yaitu y. Variabel y dapat memiliki nilai apa pun karena persamaan kedua dan ketiga merupakan persamaan nol. Kita dapat menentukan nilai x dan z dalam hal variabel bebas y. Misalnya, y = t. Dengan demikian, x dan z dapat ditulis sebagai fungsi dari variabel bebas t. Dalam contoh soal ini, kita dapat menulis:
x = -y – z + 54
z = -5t
e. Tentukan solusi persamaan linear 3 variabel. Dalam contoh soal ini, solusi persamaan linear 3 variabel dapat ditulis dalam bentuk vektor sebagai berikut:
[x y z] = [-y – z + 54 y – 5t -5t]
3. Tentukan kelebihan dan kekurangan metode eliminasi Gauss-Jordan dalam menyelesaikan persamaan linear 3 variabel. Kelebihan dari metode eliminasi Gauss-Jordan adalah dapat menyelesaikan persamaan linear 3 variabel dengan cepat dan mudah. Metode ini juga dapat diterapkan pada sistem persamaan linear dengan jumlah variabel yang lebih besar. Namun, kekurangan metode eliminasi Gauss-Jordan adalah membutuhkan banyak operasi baris elementer, terutama jika matriks augmented memiliki ukuran yang besar. Selain itu, metode ini juga cenderung membutuhkan banyak perhitungan yang rumit.
4. Tuliskan langkah-langkah metode simplex maksimum. Metode simplex maksimum adalah metode yang digunakan untuk menemukan solusi yang memaksimumkan fungsi tujuan dalam sistem persamaan linear dengan batasan. Langkah-langkah metode simplex maksimum adalah sebagai berikut:
a. Ubah sistem persamaan linear dengan batasan menjadi bentuk standar. Dalam contoh soal ini, sistem persamaan linear dengan batasan dapat ditulis sebagai berikut:
Maximize Z = 3x + 5y
subject to
2x + 3y ≤ 12
x + 2y ≤ 8
x, y ≥ 0
b. Buat tabel simplex awal. Tabel simplex awal berisi variabel slack, variabel surplus, serta koefisien objektif dan batasan. Dalam contoh soal ini, tabel simplex awal dapat ditulis sebagai berikut:
| VB | Z | x | y | s1 | s2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Z | 1 | -3 | -5 | 0 | 0 |
| s1 | 0 | 2 | 3 | 1 | 0 |
| s2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 |
c. Pilih pivot. Pivot adalah elemen yang terletak di persimpangan antara variabel yang diubah dan variabel yang tidak diubah pada baris dan kolom yang sesuai. Dalam contoh soal ini, pivot dapat dipilih pada elemen 2 pada baris s1 dan kolom x.
d. Lakukan operasi baris untuk mengubah elemen-elemen lain menjadi nol. Operasi baris dilakukan dengan cara membagi setiap elemen pada baris pivot dengan elemen pivot dan kemudian mengalikan dengan -1. Namun, harus diingat bahwa hanya elemen-elemen pada baris pivot yang harus diubah, sedangkan elemen-elemen pada kolom pivot tetap sama. Dalam contoh soal ini, operasi baris dilakukan sehingga tabel simplex menjadi seperti berikut:
| VB | Z | x | y | s1 | s2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Z | 1 | 0 | 0 | 0 | 3 |
| x | 0 | -2/3 | -1 | 2/3 | 0 |
| s2 | 0 | 7/3 | 8 | -2/3 | 1 |
e. Ulangi langkah c dan d hingga tidak ada elemen negatif pada baris Z. Dalam contoh soal ini, langkah-langkah tersebut diulangi hingga tidak ada elemen negatif pada baris Z. Tabel simplex diubah menjadi seperti berikut:
| VB | Z | x | y | s1 | s2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Z | 1 | 0 | 0 | 0 | 3 |
| x | 0 | 0 | -5/3 | 1/3 | 2/3 |
| y | 0 | 1 | 8/7 | -2/7 | 3/7 |
f. Tentukan solusi optimal. Solusi optimal terletak pada baris Z, yaitu pada kolom yang menyimpan koefisien objektif terbesar. Dalam contoh soal ini, solusi optimal adalah Z = 3 saat x = 0 dan y = 8/7.
5. Tentukan apa itu sistem persamaan linear tiga variabel. Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan matematika yang melibatkan tiga persamaan linear dengan tiga variabel dan koefisien konstan. Sistem persamaan linear tiga variabel dapat ditulis dalam bentuk matriks augmented seperti berikut:
[ a11 a12 a13 | b1 ]
[ a21 a22 a23 | b2 ]
[ a31 a32 a33 | b3 ]
6. Tuliskan contoh soal cerita tentang sistem persamaan linear tiga variabel. Misalnya, terdapat tiga bisnis waralaba dengan tiga lokasi yang berbeda. Bisnis A mendapatkan keuntungan $1000 per bulan, bisnis B mendapatkan keuntungan $1500 per bulan, dan bisnis C mendapatkan keuntungan $2000 per bulan. Biaya pajak dan gaji karyawan untuk bisnis A adalah $500 per bulan, biaya pajak dan gaji karyawan untuk bisnis B adalah $700 per bulan, dan biaya pajak dan gaji karyawan untuk bisnis C adalah $900 per bulan. Jumlah keuntungan bulanan dari ketiga bisnis tersebut adalah $4500. Bagaimana cara menentukan laba bersih dari masing-masing bisnis?
Langkah-langkah untuk menentukan laba bersih dari masing-masing bisnis adalah sebagai berikut:
a. Tentukan variabel. Dalam contoh soal ini, variabel yang dapat ditentukan adalah jumlah bisnis A, jumlah bisnis B, dan jumlah bisnis C. Misalnya, jumlah bisnis A adalah x, jumlah bisnis B adalah y, dan jumlah bisnis C adalah z.
b. Tulis persamaan linear. Dalam contoh soal ini, kita dapat menulis tiga persamaan linear berikut:
500x + 700y + 900z = 4500
x + y + z = 3
c. Selesaikan persamaan linear. Dalam contoh soal ini, kita dapat menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan persamaan linear. Setelah melakukan operasi baris pada matriks augmented, kita dapat menemukan solusi persamaan linear sebagai berikut:
x = 2
y = 1
z = 0
d. Tentukan laba bersih dari masing-masing bisnis. Dalam contoh soal ini, laba bersih dari masing-masing bisnis dapat ditentukan dengan mengalikan jumlah bisnis dengan keuntungan per bulan dan mengurangi biaya pajak dan gaji karyawan per bulan. Laba bersih dari masing-masing bisnis adalah sebagai berikut:
Laba bersih bisnis A = (2)($1000) – ($500) = $1500
Laba bersih bisnis B = (1)($1500) – ($700) = $800
Laba bersih bisnis C = (0)($2000) – ($900) = -$900
Dengan demikian, laba bersih dari masing-masing bisnis adalah $1500, $800, dan -$900.
Contoh Soal Spltv Cerita – Gudang Materi Online
Apa itu Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)? Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah sistem persamaan matematika yang melibatkan tiga persamaan linear dengan tiga variabel dan koefisien konstan. SPLTV dapat dituliskan dalam bentuk matriks augmented seperti berikut:
[ a11 a12 a13 | b1 ]
[ a21 a22 a23 | b2 ]
[ a31 a32 a33 | b3 ]
SPLTV seringkali muncul dalam konteks pemodelan matemat