Contoh Soal Jarak Titik Ke Garis Pada Kubus

oleh

Jarak titik ke titik garis atau bidang merupakan konsep matematika yang sering dijumpai pada pelajaran Matematika di Sekolah Menengah Atas (SMA) dan Sekolah Menengah Kejuruan (SMK). Pada artikel ini akan dijelaskan mengenai apa itu jarak titik ke titik garis dan bidang, mengapa harus mempelajarinya, cara menghitungnya, serta contoh soal beserta pembahasannya.

Cara Menghitung Jarak Titik Ke Titik Garis

Jarak titik ke titik garis adalah jarak terpendek dari sebuah titik ke garis yang dilewati oleh titik tersebut secara tegak lurus. Dalam menghitung jarak titik ke titik garis, terdapat dua metode, yaitu metode analitis dan metode geometris.

jarak titik ke titik garis

Metode Analitis

Dalam metode analitis, kita membutuhkan persamaan garis (y = mx + c) yang dilalui oleh titik-titik garis beserta koordinat titik yang ingin dicari jaraknya. Setelah itu, ikuti langkah-langkah berikut untuk menghitung jarak titik ke titik garis:

  1. Hitung gradien (m) dari garis yang dilalui oleh titik-titik garis dengan rumus: m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
  2. Hitung konstanta (c) dari persamaan garis dengan menggunakan titik yang dilalui oleh garis dengan rumus: c = y – mx
  3. Hitung persamaan garis miring yang tidak melalui titik mana pun dengan rumus: y – y1 = m(x – x1)
  4. Hitung koordinat titik potong garis tegak lurus dengan sumbu y: Dari persamaan garis miring yang telah diperoleh, cari titik potong garis tegak lurus dengan sumbu y dengan substitusi x = 0, sehingga diperoleh koordinat (0, b)
  5. Hitung koordinat titik potong garis yang akan dipakai sebagai titik dalam hitungan: Misalkan titik yang ingin dicari jaraknya terletak pada koordinat (x0, y0), maka kita dapat mengetahui titik potong garis tegak lurus dengan garis yang dilalui oleh titik (x0, y0) dengan rumus: y – y0 = -1/m(x – x0)
  6. Hitung jarak titik ke titik garis dengan rumus: D = |mx0 – y0 + b| / √(m2 + 1)

Metode Geometris

Sedangkan pada metode geometris, kita memerlukan penggunaan penggaris atau jangka sorong untuk mengukur jarak titik ke titik garis yang dibentuk secara diagonal. Berikut adalah langkah-langkah dalam menghitung jarak titik ke titik garis secara geometris:

  1. Hubungkan titik-titik pada garis dengan garis diagonal
  2. Ukur jarak diagonal dari titik yang dihubungkan ke titik yang ingin dicari jaraknya
  3. Untuk mengetahui jarak titik ke titik garis, hitung jarak diagonal dengan rumus sisi miring segitiga siku-siku, yaitu √(a2 + b2)

Cara Menghitung Jarak Titik Ke Titik Bidang

Jarak titik ke titik bidang adalah jarak terpendek dari sebuah titik ke bidang yang dilewati oleh titik tersebut secara tegak lurus. Dalam menghitung jarak titik ke titik bidang, terdapat dua metode, yaitu metode vektor dan metode geometris.

jarak titik ke titik bidang

Metode Vektor

Pada metode vektor, kita membutuhkan vektor normal bidang yang akan menentukan arah tegak lurus bidang beserta koordinat titik yang ingin dicari jaraknya. Langkah-langkah yang harus dilakukan dalam metode ini adalah:

  1. Hitung vektor normal dari bidang dengan rumus perkalian silang dua vektor yang ada pada bidang
  2. Tentukan koordinat titik yang ingin dicari jaraknya beserta vektor posisi titik tersebut
  3. Hitung dot product antara vektor posisi titik dengan vektor normal bidang untuk mendapatkan jarak titik ke titik bidang dengan rumus: D = |r.n| / √(n.n)

Metode Geometris

Pada metode geometris, kita membutuhkan bantuan penggaris atau jangka sorong untuk mengukur jarak titik ke bidang. Langkah-langkah yang harus dilakukan dalam metode ini adalah:

  1. Buat garis tegak lurus pada bidang yang dilewati titik tersebut
  2. Ukur jarak titik ke garis tegak lurus yang telah dibuat

Contoh Soal Jarak Titik Ke Titik Garis dan Bidang

Berikut adalah beberapa contoh soal menghitung jarak titik ke titik garis dan bidang beserta pembahasannya:

Contoh Soal 1

Hitunglah jarak titik A (4,0,0) dari garis yang menghubungkan titik B (0,2,0) dan C (0,0,3)

Pembahasan

  1. Tentukan gradien garis dari titik B ke titik C dengan rumus: m = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (0 – 2)/(0 – 3) = 2/3
  2. Tentukan konstanta persamaan garis dengan titik B dan gradien garis: c = y – mx = 2 – (2/3)(0) = 2
  3. Hitung persamaan garis miring yang tidak melalui titik mana pun dengan rumus: y – 2 = (2/3)(x – 0) = (2/3)x
  4. Hitung titik potong garis tegak lurus dengan sumbu y: Dari persamaan garis miring yang telah diperoleh, cari titik potong garis tegak lurus dengan sumbu y dengan substitusi x = 0, sehingga diperoleh koordinat (0, 2)
  5. Hitung titik potong garis tegak lurus dengan garis yang dilalui oleh titik A: Misalkan titik yang ingin dicari jaraknya adalah A(4,0,0). Substitusi koordinat titik ke dalam persamaan garis miring sehingga diperoleh persamaan garis yang dilewati titik A (y = -3x/2 + 6). Cari titik potong garis tegak lurus dengan garis yang dilewati oleh A dengan substitusi x = 4 dan y = 0, sehingga diperoleh koordinat (4, 6)
  6. Hitung jarak titik A ke garis dengan rumus: D = |mx0 – y0 + b| / √(m2 + 1) = |(2/3)(4) – 0 + 2| / √((2/3)2 + 1) = 8/3√13

Contoh Soal 2

Hitunglah jarak titik B (3,-1,2) dari bidang yang dilewati oleh titik A (2,0,0), B(0,1,0), dan C(0,0,2)

Pembahasan

  1. Tentukan vektor normal bidang dengan rumus perkalian silang dua vektor pada bidang: N = (B – A) x (C – A) = (-4, -4, 2)
  2. Tentukan vektor posisi B: rB = (3,-1,2)
  3. Hitung dot product antara vektor normal bidang dengan vektor posisi B: |rB.n| / √(n.n) = |-12 -4 + 4| / √(16 +16 +4) = 4/3

Kesimpulan

Jarak titik ke titik garis dan bidang merupakan konsep yang sering dijumpai pada pelajaran Matematika. Dalam menghitung jarak tersebut, terdapat metode analitis dan metode geometris yang dapat digunakan. Metode analitis memerlukan persamaan garis atau vektor normal bidang, sedangkan metode geometris memerlukan bantuan penggaris atau jangka sorong. Dengan memahami konsep jarak titik ke titik garis dan bidang, kita dapat menyelesaikan berbagai macam soal dan menerapkan konsep tersebut dalam kehidupan sehari-hari.

Tinggalkan komentar

https://technologi.site/