Pembuktian Hukum De Morgan’s (Aljabar Himpunan)
Hukum De Morgan merupakan salah satu konsep penting dalam aljabar himpunan. Konsep ini diperkenalkan oleh seorang matematikawan Inggris bernama Augustus De Morgan pada abad ke-19. Hukum De Morgan digunakan untuk menghubungkan operasi-operasi himpunan seperti “gabungan” (union), “potongan” (intersection), dan “komplemen” (complement). Dalam pembahasan ini, kita akan mempelajari pembuktian hukum De Morgan serta bagaimana konsep ini berlaku dalam aljabar himpunan.
Gambar di bawah ini adalah ilustrasi yang menjelaskan mengenai hukum De Morgan:
Ilustrasi Pembuktian Hukum De Morgan
Apa itu Hukum De Morgan?
Hukum De Morgan terdiri dari dua prinsip yang terkait erat satu sama lain, yaitu Hukum De Morgan untuk gabungan (union) dan Hukum De Morgan untuk potongan (intersection). Prinsip-prinsip ini menjelaskan wacana antara operasi-operasi himpunan dan bagaimana mereka berinteraksi satu sama lain.
Hukum De Morgan untuk gabungan (union) menyatakan bahwa “komplemen dari gabungan dua himpunan adalah sama dengan potongan komplemen dari kedua himpunan tersebut”. Dalam simbol matematika, hukum ini dapat dituliskan sebagai berikut:
A ∪ B = A′ ∩ B′
Dalam kata-kata, prinsip ini dapat kita pahami sebagai berikut: jika A dan B adalah dua himpunan, maka jika kita mengambil semua elemen yang ada baik di A maupun di B, dan kemudian mengambil semua elemen yang tidak ada di A maupun di B, maka elemen-elemen ini akan sama.
Sementara itu, Hukum De Morgan untuk potongan (intersection) menyatakan bahwa “komplemen dari potongan dua himpunan adalah sama dengan gabungan komplemen dari kedua himpunan tersebut”. Secara matematis, hukum ini dapat dituliskan sebagai berikut:
A ∩ B = A′ ∪ B′
Dalam kata-kata, prinsip ini dapat kita pahami sebagai berikut: jika A dan B adalah dua himpunan, maka jika kita mengambil hanya elemen-elemen yang ada baik di A maupun di B, dan kemudian mengambil semua elemen yang tidak ada di A maupun di B, maka elemen-elemen ini akan sama.
Siapa Augustus De Morgan?
Augustus De Morgan adalah seorang matematikawan, sejarawan, dan logikawan asal Inggris yang hidup pada abad ke-19. Dia lahir pada 27 Juni 1806 di Madura, India, saat itu merupakan bagian dari Kekaisaran Britania. De Morgan merupakan salah satu tokoh yang memberikan kontribusi besar dalam bidang matematika dan logika.
De Morgan belajar di Sekolah Matematika Putney dan kemudian melanjutkan studinya di Universitas Cambridge. Setelah menyelesaikan studinya, dia menjadi profesor matematika di Universitas London (sekarang University College London). Dia juga terkenal sebagai sejarawan matematika, menerbitkan buku berjudul “Arithmetical Books: from the Invention of Printing to the Present Time” pada tahun 1847.
Kapan Hukum De Morgan Ditemukan?
Hukum De Morgan ditemukan oleh Augustus De Morgan pada abad ke-19. Pada saat itu, konsep aljabar himpunan sedang berkembang pesat, dan De Morgan berhasil memberikan kontribusinya yang berharga dalam memperluas pemahaman kita tentang operasi-operasi himpunan. Penemuan ini memudahkan pembuktian matematis dan perhitungan dalam aljabar himpunan.
Dimana Hukum De Morgan Berlaku?
Hukum De Morgan berlaku dalam aljabar himpunan. Aljabar himpunan adalah cabang matematika yang mempelajari tentang himpunan dan operasi-operasinya. Himpunan sendiri merupakan kumpulan objek-objek (elemen) yang memiliki sifat-sifat tertentu.
Hukum De Morgan memungkinkan kita untuk melakukan transformasi persamaan-persamaan himpunan dengan lebih mudah. Dalam pengaplikasiannya, hukum De Morgan sering digunakan dalam berbagai bidang, seperti matematika, logika, ilmu komputer, dan kecerdasan buatan.
Bagaimana Hukum De Morgan Bekerja?
Hukum De Morgan bekerja dengan membalikkan dan melibatkan operasi-operasi himpunan seperti “gabungan” (union), “potongan” (intersection), dan “komplemen” (complement). Prinsip-prinsip hukum De Morgan untuk gabungan (union) dan potongan (intersection) menjelaskan bagaimana operasi-operasi ini berhubungan satu sama lain.
Dalam contoh sebelumnya, telah dijelaskan bahwa hukum De Morgan untuk gabungan (union) menyatakan bahwa “komplemen dari gabungan dua himpunan adalah sama dengan potongan komplemen dari kedua himpunan tersebut”. Sementara itu, hukum De Morgan untuk potongan (intersection) menyatakan bahwa “komplemen dari potongan dua himpunan adalah sama dengan gabungan komplemen dari kedua himpunan tersebut”.
Dalam menerapkan hukum De Morgan, kita dapat menggunakan simbol-simbol matematika untuk merepresentasikan operasi-operasi himpunan. Operasi gabungan (union) direpresentasikan dengan simbol “∪”, operasi potongan (intersection) direpresentasikan dengan simbol “∩”, dan operasi komplemen (complement) direpresentasikan dengan simbol “′”.
Cara Menerapkan Hukum De Morgan
Untuk menerapkan hukum De Morgan, kita perlu mengingat prinsip-prinsip dasarnya. Hukum De Morgan untuk gabungan (union) menyatakan bahwa “komplemen dari gabungan dua himpunan adalah sama dengan potongan komplemen dari kedua himpunan tersebut”. Dalam simbol matematika, hukum ini dapat dituliskan sebagai berikut:
A ∪ B = A′ ∩ B′
Dalam kata-kata, prinsip ini dapat kita pahami sebagai berikut: jika A dan B adalah dua himpunan, maka jika kita mengambil semua elemen yang ada baik di A maupun di B, dan kemudian mengambil semua elemen yang tidak ada di A maupun di B, maka elemen-elemen ini akan sama.
Sedangkan, hukum De Morgan untuk potongan (intersection) menyatakan bahwa “komplemen dari potongan dua himpunan adalah sama dengan gabungan komplemen dari kedua himpunan tersebut”. Secara matematis, hukum ini dapat dituliskan sebagai berikut:
A ∩ B = A′ ∪ B′
Dalam kata-kata, prinsip ini dapat kita pahami sebagai berikut: jika A dan B adalah dua himpunan, maka jika kita mengambil hanya elemen-elemen yang ada baik di A maupun di B, dan kemudian mengambil semua elemen yang tidak ada di A maupun di B, maka elemen-elemen ini akan sama.
Contoh Soal Hukum De Morgan
Berikut ini adalah contoh soal mengenai hukum De Morgan:
Contoh Soal Hukum De Morgan
1. Diberikan himpunan A = 1, 2, 3 dan himpunan B = 2, 3, 4. Tentukanlah komplemen dari gabungan A dan B.
Solusi:
Komplemen dari gabungan A dan B dapat ditemukan dengan menerapkan hukum De Morgan untuk gabungan (union). Kita terlebih dahulu mengambil komplemen dari himpunan A dan B masing-masing.
Komplemen dari himpunan A adalah A′ = 4.
Komplemen dari himpunan B adalah B′ = 1.
Lalu, kita mengambil gabungan dari komplemen A dan B, yaitu 4 ∪ 1 = 1, 4.
Sehingga, komplemen dari gabungan A dan B adalah 1, 4.
Kesimpulan
Hukum De Morgan merupakan konsep penting dalam aljabar himpunan yang digunakan untuk menghubungkan operasi-operasi himpunan seperti gabungan, potongan, dan komplemen. Hukum ini ditemukan oleh matematikawan Inggris, Augustus De Morgan pada abad ke-19.
Dalam penerapannya, hukum De Morgan berguna dalam melakukan transformasi persamaan-persamaan himpunan, memudahkan pembuktian matematis, dan perhitungan dalam aljabar himpunan. Hukum De Morgan berlaku dalam konteks aljabar himpunan dan memiliki dua prinsip yang berkaitan erat satu sama lain, yaitu hukum De Morgan untuk gabungan dan hukum De Morgan untuk potongan.
Prinsip-prinsip ini menjelaskan bagaimana operasi-operasi himpunan seperti gabungan, potongan, dan komplemen saling berhubungan. Dalam penerapannya, kita menggunakan simbol-simbol matematika untuk merepresentasikan operasi-operasi himpunan.
Contoh soal hukum De Morgan juga diberikan untuk membantu pemahaman konsep ini. Dalam pengerjaan soal tersebut, prinsip-prinsip hukum De Morgan harus diterapkan dengan benar untuk mendapatkan jawaban yang tepat.
Dengan memahami hukum De Morgan, kita dapat memperluas pemahaman kita tentang aljabar himpunan dan menerapkan konsep ini dalam berbagai bidang matematika, logika, ilmu komputer, dan kecerdasan buatan.