Dalam matematika, salah satu topik yang sering ditemui adalah sistem persamaan linear tiga variabel. Bagi Anda yang sedang belajar matematika atau ingin menguji pengetahuan yang telah Anda miliki, kami akan membahas soal dan pembahasan sistem persamaan linear tiga variabel. Anda akan menemukan beberapa contoh soal dan pembahasan di bawah ini.
Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Kumpulan 6+ Pembahasan Contoh Soal Himpunan Penyelesaian Persamaan
Berikut adalah salah satu contoh soal yang dapat membantu Anda memahami sistem persamaan linear tiga variabel.
Apa Itu Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel?
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sekumpulan tiga persamaan linear yang memiliki tiga variabel. Dalam sistem persamaan ini, tiga variabel tersebut saling terkait dan harus ditemukan nilai solusinya.
Mengapa Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Penting?
Sistem persamaan linear tiga variabel penting karena berbagai alasan. Misalnya, sistem persamaan ini sangat berguna dalam menyelesaikan masalah matematika dan non-matematika di kehidupan sehari-hari. Kantor-kantor di beberapa industri pun banyak menggunakan sistem persamaan linear untuk mengelola sumber daya dan memberikan solusi terbaik bagi perusahaan. Oleh karena itu, sistem persamaan linear tiga variabel merupakan topik yang sangat penting untuk dipelajari.
Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel?
Ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Salah satunya adalah dengan metode eliminasi Gauss. Dalam metode ini, kita akan menggabungkan persamaan-persamaan tersebut dan mencari nilai solusi dengan melakukan operasi matematika secara sistematis. Cara lainnya adalah dengan menggunakan metode substitusi atau metode invers matriks. Setiap metode yang dilakukan memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing. Kita bisa memilih salah satu metode atau membandingkan hasil dari masing-masing metode tersebut, tergantung pada kebutuhan kita.
Contoh Soal dan Pembahasan
Berikut adalah beberapa contoh soal beserta pembahasannya.
Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Selanjutnya, kami akan memaparkan soal dan pembahasan sistem persamaan linear tiga variabel yang berguna untuk menguji pengetahuan Anda. Dalam gambar di bawah ini, Anda akan melihat salah satu contoh soal dan pedoman bagaimana cara menyelesaikan solusi dari sistem persamaan ini.
Apa Itu Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel?
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sekumpulan tiga persamaan linear yang memiliki tiga variabel. Dalam sistem persamaan ini, tiga variabel tersebut saling terkait dan harus ditemukan nilai solusinya.
Mengapa Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Penting?
Sistem persamaan linear tiga variabel penting karena berbagai alasan. Misalnya, sistem persamaan ini sangat berguna dalam menyelesaikan masalah matematika dan non-matematika di kehidupan sehari-hari. Kantor-kantor di beberapa industri pun banyak menggunakan sistem persamaan linear untuk mengelola sumber daya dan memberikan solusi terbaik bagi perusahaan. Oleh karena itu, sistem persamaan linear tiga variabel merupakan topik yang sangat penting untuk dipelajari.
Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel?
Ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Salah satunya adalah dengan metode eliminasi Gauss. Dalam metode ini, kita akan menggabungkan persamaan-persamaan tersebut dan mencari nilai solusi dengan melakukan operasi matematika secara sistematis. Cara lainnya adalah dengan menggunakan metode substitusi atau metode invers matriks. Setiap metode yang dilakukan memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing. Kita bisa memilih salah satu metode atau membandingkan hasil dari masing-masing metode tersebut, tergantung pada kebutuhan kita.
Contoh Soal dan Pembahasan
Berikut adalah beberapa contoh soal beserta pembahasannya.
Contoh Soal 1
Sebuah pesawat melakukan pendaratan, dan kecepatannya dapat dinyatakan sebagai $4x-y+2z=2$. Di sisi lain, akselerasi pesawat dinyatakan sebagai $5x+6y-3z=4$. Jika massa pesawat adalah 100 ton, berapakah gaya gesek antara pesawat dan landasan?
Pembahasan Soal 1:
Pertama-tama, kita akan mengelompokkan persamaan-persamaan yang diberikan:
$$4x-y+2z=2,…….(1)$$$$5x+6y-3z=4,…….(2)$$
Berdasarkan persamaan (1), kita dapat mendapatkan nilai $y$ dengan mengekspresikannya sebagai $y=4x+2z-2$. Selanjutnya, kita dapat menggantikan nilai $y$ pada persamaan (2) sehingga didapatkan:
$$5x+6(4x+2z-2)-3z = 4$$$$25x-15z=-22,…….(3)$$
Selanjutnya, kita harus mengubah persamaan (3) menjadi bentuk matriks. Penyelesaiannya dapat dituliskan dalam bentuk matriks augmentasi sebagai berikut:
$$\beginbmatrix4 & -1 & 2\\5 & 6 & -3\endbmatrix\beginbmatrixx\\y\\z\endbmatrix=\beginbmatrix2\\4\endbmatrix$$
Setelah itu kita melakukan operasi pengurangan baris ke-2 dengan 5 kali baris ke-1, kemudian operasi pengurangan baris ke 2 dengan 6 kali baris ke 1.
Dalam matriks baru, nilai $z=3$. Selanjutnya, kita dapat menggantikan nilai $z$ pada persamaan (1) untuk mendapatkan nilai $y=6$ dan $x=\frac12$. Setelah itu kita dapat menghitung gaya gesek antara pesawat dan landasan. Gaya gesek dapat dihitung dengan rumus $f_c=mg\mu_k$ (dalam hal ini $\mu_k=0,2$):
$$f_c=mg\mu_k=100\times 1000\times9,8\times 0,2=196000 N$$
Oleh karena itu,gaya gesek antara pesawat dan landasan adalah sebesar 196000 Newton.
Contoh Soal 2
Sebuah rumah mempunyai tiga stopkontak yang bekerja pada tegangan 220 volt dan total arus listrik selalu konstan, yaitu 5 Ampere. Bila kita mengetahui hambatan tiap stop kontak maka kita dapat mengetahui daya yang akan dikeluarkan oleh ketiga stopkontak tersebut. Berdasarkan tabel dibawah ini, hitunglah daya yang dihasilkan oleh masing-masing stopkontak!
| Stopkontak | Hambatan (ohm) |
|---|---|
| A | 6 |
| B | 8 |
| C | 10 |
Pembahasan Soal 2:
Pertama-tama kita perlu mengetahui rumus hubungan antara tegangan, arus, dan hambatan. Rumus tersebut dikenal sebagai hukum Ohm dan dapat dituliskan dalam bentuk persamaan sebagai berikut:
$$V=IR$$
Di mana V adalah tegangan listrik dalam volt, I adalah arus listrik dalam ampere, dan R adalah hambatan listrik dalam ohm. Selanjutnya, kita dapat menggabungkan persamaan-persamaan tersebut untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Dari persamaan (1), kita dapat mengekspresikan $I$ sebagai $I = \frac2206-z-w$ (dengan $z$ dan $w$ adalah hambatan masing-masing stop kontak B dan C). Setelah itu, kita mengekspresikan $I$ dari persamaan (2) sehingga didapatkan:
$$\frac2206-z-w = \frac58-z,…….(3)$$
Dalam persamaan (3) kita hanya memiliki satu variabel, yaitu $z$. Oleh karena itu, kita dapat menyelesaikan persamaan tersebut dengan mudah. Setelah nilai $z$ ditemukan, maka kita dapat mencari nilai $w$ dari persamaan (1) dan kemudian menentukan nilai daya masing-masing stopkontak dengan rumus:
$$P = VI$$
Berikut adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan soal di atas:
- Mencari nilai $I$ dari persamaan (1) dengan mengekspresikan $I$ sebagai $I = \frac2206-z-w$
- Mengekspresikan $I$ dari persamaan (2) sehingga didapatkan:
$$\frac2206-z-w = \frac58-z,…….(3)$$ - Mencari nilai $z$ dari persamaan (3) dengan cara menyederhanakan persamaan tersebut:
- Rangkai persamaan (3) sehingga didapatkan:
- Rapihkan persamaan dan gabungkan koefisien w dan z sehingga menjadi:
- Mencari nilai $w$ dengan menggantikan $z$ pada persamaan (1):
- Menghitung nilai daya masing-masing stopkontak dengan rumus:
$$220(8-z) = 5(6-z-w)(6+z-8)$$$$1760-220z = 5(-z-w-2)$$$$1760-220z = -5z-5w-10$$
$$215z+5w=1770,…….(4)$$
$$I = \frac2206-z-w$$$$I = \frac2206-2w$$$$w = \frac55I-3,…….(5)$$
$$P = VI$$
Dalam persamaan (5), kita telah mengekspresikan nilai $w$ dalam bentuk $I$. Oleh karena itu, kita perlu mencari nilai $I$ terlebih dahulu sebelum mencari nilai daya masing-masing stopkontak. Setelah itu, kita dapat menggantikan nilai $I$ dan $z$ pada persamaan (1), dan nilai $I$ dan $w$ pada persamaan (2) untuk mencari nilai daya masing-masing stopkontak. Hasil akhir dari perhitungan tersebut adalah sebagai berikut:
- Untuk stopkontak A, dayanya adalah $P_A = \frac484027$ Watt
- Untuk stopkontak B, dayanya adalah $P_B = \frac484017$ Watt
- Untuk stopkontak C, dayanya adalah $P_C = \frac484014$ Watt
Demikianlah pembahasan mengenai sistem persamaan linear tiga variabel. Dengan memahami konsep ini, Anda dapat menyelesaikan berbagai masalah matematika dan non-matematika secara efektif. Selamat belajar!