Soal Persamaan Trigonometri

Hei, teman-teman! Siapa yang nggak pernah ngerasain ngerjain soal persamaan trigonometri? Pasti pernah dong ya, terutama buat teman-teman yang sedang belajar trigonometri di kelas 11. Pusing banget kan ngeliatnya, apalagi kalo nggak ngerti rumusnya.

Tapi jangan khawatir, disini aku mau kasih tau kalian sintaksis dan format untuk menyelesaikan soal persamaan trigonometri dengan bentuk kuadrat. Yuk simak!

Apa itu Persamaan Trigonometri dengan Bentuk Kuadrat?

Persamaan trigonometri dengan bentuk kuadrat adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa fungsi trigonometri dan \ teks(x) dalam bentuk kuadrat.

Mengapa Harus Belajar Persamaan Trigonometri dengan Bentuk Kuadrat?

Karena persamaan bentuk kuadrat mudah diperoleh dan mudah diselesaikan daripada persamaan trigonometri yang lain. Selain itu persamaan trigonometri bentuk kuadrat juga sangat berguna dalam perhitungan pada bidang teknik, terutama elektronika.

Cara Menyelesaikan Persamaan Trigonometri dengan Bentuk Kuadrat

Berikut adalah cara menyelesaikan persamaan trigonometri dengan bentuk kuadrat:

1. Ubah semua fungsi trigonometri yang ada dalam persamaan menjadi fungsi sine atau cosine. Jadi jangan lupa gunakan identitas trigonometri misalnya $\tan x = \frac\sin x\cos x$ dll.
2. Susun semua fungsi sine atau cosine yang telah diubah ke dalam bentuk kuadrat.
3. Jumlahkan semua fungsi sine atau cosine yang diubah ke dalam bentuk kuadrat menjadi satu fungsi bentuk kuadrat.
4. Tentukan besar maksimum dan minimum dari fungsi bentuk kuadrat yang telah dihasilkan.
5. Identifikasi nilai akar-akar dari fungsi bentuk kuadrat yang telah dihasilkan, lalu tentukan kuartil-kwartilnya.

Contoh Soal Persamaan Trigonometri dengan Bentuk Kuadrat

Berikut ini adalah contoh soal persamaan trigonometri dengan bentuk kuadrat:

Contoh 1

Dalam interval $\left[0, \frac\pi2\right]$, tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan:

$$
\sin^2 x + \sin^2 ( x + \frac\pi3) – \sin (2 x + \frac\pi3) = 0!
$$

Penyelesaian:

1. Kita gunakan identitas trigonometri untuk mengubah semua fungsi trigonometri ke dalam bentuk fungsi sine dan cosine.
2. Penyelesaian lengkap:

$$\beginaligned
\sin^2 x + \sin^2 (x+\frac\pi3) – \sin (2 x + \frac\pi3) & = 0 \\
(\sin^2 x + \cos^2 x) + [(\sin x \cos \frac\pi3 + \cos x \sin \frac\pi3)^2 – \sin 2x &= 0 \\
1 + [(\frac\sqrt32 \sin x + \frac12 \cos x)]^2 – 2 \sin x \cos x \sqrt3 + \\
2 \cos^2 x – 1 & = 0 \\
(\frac\sqrt32 \sin x + \frac12 \cos x)^2 & = \sin x \cos x \sqrt3 \\
\frac34 \sin^2 x + \frac14 \cos^2 x + \sqrt3 \sin x \cos x &= \sin x \cos x \sqrt3 \\
\frac34 \sin^2 x &= \frac12 \sqrt3 \sin x \cos x – \frac14 \cos^2 x \\
3 \sin^2 x &= 2 \sqrt3 \sin x \cos x – \cos 2 x + 1 \\
&= \sqrt3 \sin 2x + 1 – \cos 2x \\
\cos 2x &= \sqrt3 \sin 2x – 2 \\
\sqrt3 \left(\frac12 \cos 2x + \frac1\sqrt3 \sin 2x \right) & = -\frac32 \\
\cos(2x – \frac\pi3) & = -\frac32 \sqrt3
\endaligned$$

3. Dalam interval $\left[0, \frac\pi2\right]$, kita catat untuk mendapatkan $\sqrt3 sin 2x – 2 < 0$, maka harus $\sin 2x < \frac2\sqrt3$, yang pada interval tersebut terjadi hanya untuk $x \in (0, \frac\pi6)$.
4. Dengan syarat $2x – \frac\pi3 \in [-\pi, \pi]$, maka tentukanlah:

$$\beginaligned
2x – \frac\pi3 = -\frac\pi3 \quad \implies \quad x & = 0 \\
2x – \frac\pi3 = \pi \quad \implies \quad x & = \frac2\pi3
\endaligned$$


5. Kesimpulannya, persamaan trigonometri di atas hanya memiliki dua solusi di dalam interval $\left[0, \frac\pi3\right]$ yaitu $x = 0$ dan $x = \frac2\pi3$.

Contoh 2

Dalam interval $\left[0, \frac\pi2\right]$, tentukanlah nilai $x$ yang memenuhi persamaan:

$$
\cos^2 x + \sqrt3 \sin x \cos x + \sin^2 x – 1 = 0
$$

Penyelesaian:

1. Kita gunakan identitas trigonometri untuk mengubah semua fungsi trigonometri ke dalam bentuk fungsi sine dan cosine.
2. Penyelesaian lengkap:

$$\beginaligned
\cos^2 x + \sqrt3 \sin x \cos x + \sin^2 x -1 &= 0 \\
2 \sin^2 x + 2 \cos x \sin x \sqrt3 &= 0 \\
\sin 2x &= -\frac2\sqrt3
\endaligned$$

3. Dalam interval $\left[0, \frac\pi2\right]$, kita memiliki $\sin 2x < 0$, maka untuk mendapatkan $\sin 2x = -\frac2\sqrt3$, cukuplah untuk membatasi $2x \in \left[\frac\pi6, \frac\pi3\right]$.
4. Dengan syarat $2x \in [-\pi, \pi]$, maka tetapanlah:

$$\beginaligned
2x = -\frac\pi6 \quad \implies \quad x & = -\frac\pi12 \\
2x = \frac5 \pi6 \quad \implies \quad x & = \frac5 \pi12
\endaligned$$

5. Jadi persamaan trigonometri di atas hanya memiliki dua solusi di dalam interval $\left[0, \frac\pi2\right]$ yaitu $x = -\frac\pi12$ dan $x = \frac5 \pi12$.

Nah, gimana sudah paham dong kan? Ingat, jangan pernah menyerah dan terus berlatih. Semoga bermanfaat yaa teman-teman!